01.01.02 — «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
по физико-математическим наукам
Введение
Настоящая экзаменационная программа соответствует утвержденному паспорту научной специальности «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными, а также ряд отдельных вопросов функционального анализа и теории функциональных пространств.
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. В. А. Стеклова и Московского энергетического института (технического университета).
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Гладкость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам, входящим в правые части системы уравнений. Продолжение решения.
- Общая теория линейных уравнений и систем (область существования решения, фундаментальная матрица Коши, формула Лиувилля—Остроградского, метод вариации постоянных и др.).
- Автономные системы уравнений. Положения равновесия. Предельные циклы.
- Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости положения равновесия по первому приближению.
- Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина (без доказательства), приложение к задачам быстродействия для линейных систем.
- Краевая задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи.
- Задача Штурма—Лиувилля для уравнения второго порядка. Свойства собственных функций.
- Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными аргументами. Доказательство теоремы существования и единственности аналитического решения методом мажорант.
- Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Теорема существования и единственности решения при условиях Каратеодори.
- Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики. Задача Коши. Теория Гамильтона—Якоби.
2. Уравнения с частными производными
- Системы уравнений с частными производными типа Ковалевской. Аналитические решения. Теория Коши—Ковалевской.
- Классификация линейных уравнений второго порядка на плоскости. Характеристики.
- Задача Коши и начально-краевые задачи для волнового уравнения и методы их решения. Свойства решений (характеристический конус, конечность скорости распространения волн, характер переднего и заднего фронтов волны и др.)
- Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, гладкость, теоремы о среднем и др.)
- Задача Коши и начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, бесконечная скорость распространения, функция источника и др.)
- Обобщенные функции. Свертка обобщенных функций, преобразование Фурье.
- Пространства Соболева Wpm . Теоремы вложения, следы функций из Wpm на границе области.
- Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка. Задачи на собственные функции и собственные значения.
- Псевдодифференциальные операторы (определение, основные свойства).
- Нелинейные гиперболические уравнения. Основные свойства.
- Монотонные нелинейные эллиптические уравнения. Основные свойства.
- Монотонные нелинейные параболические уравнения. Основные свойства.
Основная литература
- Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000.
- Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.
- Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
- Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1995.
- Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1998(и последующие издания).
- Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1963 (и последующие издания).
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953 (и последующие издания).
- Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
- Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.
- Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Физматлит., 1985.
Дополнительная литература
- Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.
- Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ, 1996.
- Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Наука, 1961.
- Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
- Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.
