Главная

Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

по физико-математическим и техническим наукам


Введение

В основе настоящей программы лежит материал курсов: функциональный анализ, математическая физика, теория вероятностей, математическая статистика, численные методы.
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по управлению, вычислительной технике и информатике при участии МГУ им. М.В. Ломоносова.

1. Математические основы

  • Элементы теории функций и функционального анализа. Понятие меры и интеграла Лебега. Метрические и нормированные пространства. Пространства интегрируемых функций. Пространства Соболева. Линейные непрерывные функционалы. Теорема Хана—Банаха. Линейные операторы. Элементы спектральной теории. Дифференциальные и интегральные операторы.
  • Экстремальные задачи. Выпуклый анализ. Экстремальные задачи в евклидовых пространствах. Выпуклые задачи на минимум. Математическое программирование, линейное программирование, выпуклое программирование. Задачи на минимакс. Основы вариационного исчисления. Задачи оптимального управления. Принцип максимума. Принцип динамического программирования.
  • Теория вероятностей. Математическая статистика. Аксиоматика теории вероятностей. Вероятность, условная вероятность. Независимость. Случайные величины и векторы. Элементы корреляционной теории случайных векторов. Элементы теории случайных процессов. Точечное и интервальное оценивание параметров распределения. Элементы теории проверки статистических гипотез. Элементы многомерного статистического анализа. Основные понятия теории статистических решений. Основы теории информации.

2. Информационные технологии

  • Принятие решений. Общая проблема решения. Функция потерь. Байесовский и минимаксный подходы. Метод последовательного принятия решения.
  • Исследование операций и задачи искусственного интеллекта. Экспертизы и неформальные процедуры. Автоматизация проектирования. Искусственный интеллект. Распознавание образов.

3. Компьютерные технологии

  • Численные методы. Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей. Численное дифференцирование и интегрирование.
  • Численные методы поиска экстремума. Вычислительные методы линейной алгебры. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений. Сплайн-аппроксимация, интерполяция, метод конечных элементов. Преобразования Фурье, Лапласа, Хаара и др. Численные методы вейвлет-анализа.
  • Вычислительный эксперимент. Принципы проведения вычислительного эксперимента. Модель, алгоритм, программа.
    Алгоритмические языки. Представление о языках программирования высокого уровня. Пакеты прикладных программ.

4. Методы математического моделирования

  • Основные принципы математического моделирования. Элементарные математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике. Универсальность математических моделей. Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы. Вариационные принципы построения математических моделей
  • Методы исследования математических моделей. Устойчивость. Проверка адекватности математических моделей.
  • Математические модели в научных исследованиях. Математические модели в статистической механике, экономике, биологии. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем.
  • Задачи редукции к идеальному прибору. Синтез выходного сигнала идеального прибора. Проверка адекватности модели измерения и адекватности результатов редукции.
  • Модели динамических систем. Особые точки. Бифуркации. Динамический хаос. Эргодичность и перемешивание. Понятие о самоорганизации. Диссипативные структуры. Режимы с обострением.

5. Численные методы

  • Система линейных алгебраических уравнений. Треугольное разложение матрицы. Метод Гаусса. Метод квадратного корня. QR – разложение матрицы. Метод отражений. Метод простой итерации. Условия и скорость сходимости. Оценка погрешности. Редукция системы к задаче на минимум. Градиентный метод с постоянным шагом. Оптимальный выбор шага. Метод сопряженных градиентов. Свойство конечности. Системы с прямоугольными матрицами. Метод наименьших квадратов.
  • Система нелинейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации. Теорема о сходимости. Модификации. Метод Ньютона. Теорема сходимости. Модификации.
  • Задача интерполирования функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполирование с кратными узлами. Многочлен Эрмита. Сплайн – интерполирование. Линейный, параболический и кубический интерполяционные сплайны.
  • Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Оценка погрешности. Квадратурная формула Гаусса. Погрешность Формулы численного дифференцирования. Погрешность аппроксимации.
  • Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Методы Рунге-Кутта. Выбор параметров. Одноэтапный и двухэтапные методы. Задача Коши. Методы Адамса. Погрешность аппроксимации. Одношаговые методы. Линейная многоточечная задача. Метод прогонки. Линейная краевая задача для уравнения второго порядка. Разностная аппроксимация. Погрешность. Вариационные методы.
  • Численное решение уравнений с частными производными. Основные понятия теории разностных схем. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности. Погрешность аппроксимации. Устойчивость. Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности. Свойство устойчивости. Разностные схемы с весами. Шаблон. Погрешность аппроксимации.

6. Приближенные методы решения интегральных уравнений

  • Основные типы интегральных уравнений. Классификация приближенных методов. Приближенные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма II рода: последовательных приближений, замены ядра на вырожденное, наименьших квадратов, сплайнов, квадратур. Аналогичные методы для линейных интегральных уравнений Вольтерра II рода. Приближенные методы решения нелинейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра II рода: методы последовательных приближений, Ньютона, квадратур.

7. Некорректные задачи и методы регуляризации

  • Понятие корректности по Адамару задачи математической физики. Обратные задачи математической физики с точки зрения причинно-следственной связи. Примеры.
    Понятие корректности по Тихонову задачи математической физики. Метод квазирешения В.К. Иванова. Метод регуляризации А.Н. Тихонова применительно к вырожденной или плохо обусловленной СЛАУ. Принцип невязки Морозова. Классификация слабо некорректных задач. Интегральные уравнения Вольтерра I рода и их саморегуляция. Саморегуляция численного дифференцирования. Интегральные уравнения Фредгольма I рода как типичный пример существенно некорректной задачи. Некорректные вариационные задачи. Метод регуляризации А.Н. Тихонова для решения некорректных задач линейного программирования и оптимального управления.

8. Программирование и обработка данных

  • Основные понятия ООП.
  • Основные элементы диалогового интерфейса. Технология и механизмы визуального конструирования интерфейсных программ.
  • Разработка и распространение приложений средствами современных систем объектно-ориентированного визуального программирования.
  • Реляционные базы данных. Язык запросов SQL.
  • Программирование диалогового доступа к реляционным базам данных.
  • Программирование отчетов.
  • Диалоговая обработка данных и программирование обработки данных на основе Excel.
  • Диалоговая обработка данных и программирование обработки данных на основе Word.
  • Диалоговая обработка данных и программирование обработки данных на основе Access.
  • Диалоговая обработка данных и программирование обработки данных на основе PowerPoint.
  • Программирование интегрированных приложений на основе ActiveX - компонентов.
  • Web – технологии: языки средства формирования документов и сценариев для Web – клиента.
  • Web – технологии: языки средства формирования приложений и сценариев обработки запросов для Web – сервера.
  • Разработка приложений в архитектуре Windows DNA.
  • Программирование ввода/вывода в файловых системах.
  • Верификация программ и доказательное программирование.
  • Функциональное программирование. ЛИСП.
  • Логическое программирование. ПРОЛОГ.
  • Архитектура и средства обеспечения современных вычислительных сетей.
  • Стек протоколов. LAN-WAN – технологии.
  • Правовые и организационно-экономические аспекты распространения и применения программ ЭВМ и баз данных.
  • Цели, задачи и средства администрирования в локальных и корпоративных вычислительных сетях.
  • Цели, задачи и средства администрирования баз данных коллективного пользования.
  • Мультимедийные средства, документы и системы.
  • Операционные системы: назначение, принципы работы, языки и средства управления вычислительными процессами.

Основная литература

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
  2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
  3. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1984.
  4. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
  5. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
  6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997.
  7. Математическое моделирование / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1993.
  8. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: ИЗОГРАФ, 1997.
  9. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.
  10. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: Физматлит, 2002.
  11. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1986. – 543с.
  12. Канторович Л.А., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Изд-во ФМ, 1962. – 708с.
  13. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. II. М.: Наука, 1977. – 399с.
  14. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. – 287с.
  15. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. – 310с.
  16. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999. – 193с.
  17. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
  18. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
  19. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
  20. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
  21. Санна П. Visual Basic для приложений. СПб.: BHV, 1998. – 704с.
  22. Visual Basic 6.0/. СПб.: БХВ – Санкт-Петербург, 1998. – 992с.
  23. Гуревич Н., Гурувич О. Visual Basic: Освой самостоятельно. М.: ЗАО «Издательство Бином», 1998. – 576с.
  24. Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989. – 544с.
  25. Олифер В.Г., Олифер Н.А. Компьютерные сети. СПб.: Питер, 2001. – 668с.
  26. Саймон А.Р. Стратегические технологии баз данных: менеджмент на 2000 год. М.: Финансы и статистика, 1999. – 479с.
  27. Грис Д. Наука программирования /Пер. с англ. под ред. А.П. Ершова. М.: Мир, 1984. – 416с.
  28. Джамса К., Лалани С., Уикли С. Программирование в WEB для профессионалов. Минск: Попурри, 1997. – 632с.
  29. Дженнингс Р. Руководство разработчика баз данных на Visual Basic 6. К.; М.; СПб.: Издательский дом «Вильямс», 1999. – 976с.
  30. Герасименко В.А., Малюк А.А. Основы защиты информации. М.: МИФИ (Московский государственный инженерно физический технический университет), 1997. – 540с.
  31. Братко И. Программирование на языке Пролог для искусственного интеллекта. М.: Мир, 1990. – 560с.
  32. Грофф Дж., Вайнберг П. SQL: Полное руководство. – 2 изд., перераб., доп. К.: Издательская группа BHV, 2001. – 816с.
  33. Фролов А.В., Фролов Г.В. Операционная система IBM OS/2 Warp. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. (Библиотека системного программиста: Т.20).
  34. Маурер У. Введение в программирование на языке ЛИСП. М.: Мир, 1976. – 104с.
  35. Архитектура Windows для разработчиков. Учебный курс. М.: Издательский отдел «Русская редакция» ТОО «Chanel Trading Ltd», 1998. – 472c.

Дополнительная литература

  1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
  2. Пытьев Ю.П. Математические методы анализа эксперимента. М.: Высш. школа, 1989.
  3. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000.
  4. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
  5. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1984.
  6. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972.