1) граничные обратные задачи; геометрические обратные задачи; обратные задачи теории колебаний;
2) обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями;
3) Разложения в ряды по производным цепочкам Келдыша;
4) Решение экономических задач с помощью методов математического анализа и механики.
Основные достижения
1) Разработаны методы по идентификации краевых условий, у которых все коэффициенты являются неизвестными (известен ранг матрицы A, составленной из неизвестных коэффициентов). Они позволяют идентифицировать не только коэффициенты краевых условий определенного вида, но и сами виды краевых условий (упругое закрепление, свободный конец, заделка, свободная опора, плавающая заделка и т.п.), позволяют во многих случаях построить множество корректности, доказать корректность поставленной задачи по А.Н. Тихонову и предъявить явное решение задачи отыскания краевых условий. Созданы новые методы идентификации коэффициентов полиномов (от спектрального параметра), присутствующих в краевых условиях.
Предложены новые условия сопряжения для трещин и полостей. При этом для их однозначной идентификации впервые используются несколько спектров различных видов колебаний (продольных, поперечных вокруг разных осей, крутильных), в отличие от работ других авторов, которые для однозначной идентификации механических систем применяют несколько спектров задач с одним и тем же уравнением, но разными краевыми условиями.
2) Совместно с В.А. Садовничим и Я.Т. Султанаевым доказаны теоремы единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля с общими (в том числе нераспадющимися) краевыми условиями, из которых известная теорема единственности Борга-Марченко-Караcевой (для распадающихся краевых условий) вытекает как частный случай. Получено обобщение теоремы разрешимости Гасымова-Левитана о восстановлении задачи Штурма-Лиувилля по двум спектрам на случай более общих (в том числе нераспадающихся краевых условий).
3) Для широких классов спектральных задач получены явные формулы для коэффициентов разложений в ряды по производным цепочкам Келдыша. Для их получения разработаны методы сопряженного оператора и сопряженного пучка неограниченных операторов в расширенном гильбертовом пространстве.
4) Предложены новые задачи выбора лучшей из двух схем инвестирования, а также методы их решения с помощью математического анализа и механики. Показано, в частности, что в условиях отсутствия выбытия фондов, среди двух схем инвестирования предприятия с одинаковым горизонтом планирования и объемом инвестирования, больший объем продукции будет произведен по той схеме инвестирования, у которой центр масс пластины инвестирования находится левее.
