Исследуется динамика ударно-волновых процессов в пористых средах, насыщенных жидкостью. Последовательно учтены силы межфазного взаимодействия. Исследовано влияние пористости, радиуса и плотности материала частиц на фазовую скорость и декремент затухания волн. Выявлены закономерности распространения волн в пористой среде неоднородной структуры. Рассматривается консолидированная система и среда, состоящая из насыпки, залитой жидкостью.
Содержание:
- Математическая модель
- Конечно-разностная аппроксимация системы уравнений
- численные расчёты (сравнение с экспериментом, сравнение распространения волн в консолидированной среде и среде насыпной плотности)
- Влияние переменной пористости на характер волнового течения
- Влияние переменной пористости на характер волнового течения
Математическая модель
Рассмотрим плоское одномерное движение двухфазной среды на основе физических законов сохранения. Нижний индекс i = 1 будем относить к параметрам жидкости, а i = 2 – к параметрам дисперсной фазы (твердых частиц). Считаем, что в процессе распространения волн давления в чистой жидкости и в пористой среде температуры фаз изменяются незначительно.
где , - приведённая плотность и массовая скорость i-й фазы, p1, – давление и пористость жидкости, , – объёмное содержание и приведённое напряжение твёрдой фазы. Напряжение интерпретируется как часть тензора напряжений твёрдой фазы , обусловленная передачей усилий через контакты между зёрнами и не зависящая от давления жидкости. F12 – межфазная сила, связанная со скоростной неравновесностью фаз.
Сила взаимодействия F12 между несущей средой и включениями обязана трём основным эффектам:
Здесь – сила трения Стокса. Возникает из-за действия вязких сил при взаимодействии между фазами. – сила, связанная с воздействием «присоединённых масс», возникающая из-за ускорения движения включения относительно несущей среды, когда в последней возникают возмущения на расстоянии порядка размера включений. И, – сила Бассэ-Буссинеска, действующая на сферу во флюиде в момент t и зависящая от всей предыстории движения.
Для указанных сил можно записать следующие соотношения:
Влияние формы частиц и структура среды учитывается в коэффициентах , и . Их значения следует выбирать при сопоставлении с реперным экспери-ментом.
Уравнение состояния вязкоупругого скелета можно представить в следующем виде:
По определению, скорость деформации выражается через массовую ско-рость частиц деформируемой среды:
Модули упругости скелета определим через скорость звука в скелете, соответствующими мгновенному и длительному модулям:
где - начальная приведённая плотность частиц скелета, Df*, De* – скорости звука в скелете. Данные соотношения обусловлены точностью эксперимен-тального определения скорости звука в скелете по сравнению с непосредствен-ным измерением модуля упругости. С теоретической точки зрения подобное представление модулей создаёт дополнительные возможности при построении моделей, учитывающих зависимости параметров среды от пористости. Примем, что твёрдые вещества – металлы, частицы горных пород, а также жидкости при действии всестороннего сжатия подчиняются линейному закону, поэтому для материалов фаз запишем следующие уравнения состояния:
где - скорость звука в материале i – ой фазы, , - её
сжимаемость и начальная истинная плотность.
В соответствии с уравнением совместности деформаций имеет место и следующее равенство:
Таким образом, получили систему уравнений, описывающую движение одномерной двухфазной среды:
Вопросы гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши применительно к системе дифференциальных уравнений двухскоростного дви-жения дисперсных сред рассматривались в работах [39-41, 73].
Конечно-разностная аппроксимация системы уравнений
С целью численной реализации исходную систему уравнений (2.1.10) приведём к дивергентному виду. Для этого воспользуемся равенствами, следующими из определения полной производной и законов сохранения массы фаз. В результате получим следующую форму записи дифференциальных уравнений:
